Question

【題目】已知函數,,其中.

(Ⅰ) 判斷函數在上的單調性；

(Ⅱ) 設函數的定義域為,且有極值點.

(ⅰ) 試判斷當時, 是否滿足題目的條件,并說明理由；

(ⅱ) 設函數的極小值點為,求證: .

Answer 1

【答案】(Ⅰ)見解析； (Ⅱ) (ⅰ)滿足 ，理由見解析 (ⅱ)見解析.

【解析】

(Ⅰ)求，根據導數與函數單調性的關系，結合參數b的取值范圍，分類討論函數在上的單調性；

(Ⅱ) (ⅰ)代入b=2，求得，可判斷定義域滿足題目的條件，再利用零點存在性定理，判斷函數有極點；

(ⅱ)先根據滿足題目條件，求出b的取值范圍，以及b關于x的函數式，并判斷有兩個極值點，再根據取極小值時函數式構造函數，利用導數和x0的取值范圍，證明不等式成立.

(Ⅰ),

若,則,故在上遞增；

若,由解得,,

當,解得,此時當,,時,,結合時，x=

所以在上單調遞減,在上單調遞增.

當時,解得,由得,由得-2<或,結合時，x=所以在上單調遞增,在上單調遞減,在上單調遞增.

綜上所述，當時，函數在上單調遞增；

當時，在上單調遞減,在上單調遞增；

當時，在上單調遞增，在單調遞減，在上單調遞增；其中,

(Ⅱ).

(ⅰ)當時,,此時的定義域為,

,又,

所以在上有變號，有零點,

所以有極值,即時,滿足題目的條件.

(ⅱ),因為的定義域為,故,即.

,令,得,設,

則,當時,,遞增,當時,,遞減,

所以,所以,即時，滿足的定義域為R且有極點.此時有且只有兩個變號零點,一個為的極大值點,一個為極小值點,且極小值點大于,

故且唯一,又,

設,則,所以在上遞增,

又4>,所以,結合函數單調性，可判斷0<,

所以.