Question

【題目】如圖，四棱錐，側(cè)面是邊長(zhǎng)為2的正三角形，且與底面垂直，底面是的菱形，為的中點(diǎn)．

（1）在棱上是否存在一點(diǎn)，使得，，，四點(diǎn)共面？若存在，指出點(diǎn)的位置并說(shuō)明；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；

（2）求點(diǎn)平面的距離．

Answer 1

【答案】（1）為棱的中點(diǎn)；（2）.

【解析】

試題分析：（1）當(dāng)點(diǎn)為棱的中點(diǎn)時(shí)，，，，四點(diǎn)共面，利用中位線，有，即可得四點(diǎn)共面；（2）取中點(diǎn),連結(jié)，，，易證平面，利用等體積法，根據(jù)，有，計(jì)算得，即點(diǎn)到平面的距離為．

試題解析：

（1）當(dāng)點(diǎn)為棱的中點(diǎn)時(shí)，，，，四點(diǎn)共面．證明如下：

取棱的中點(diǎn)，連結(jié)，，又為的中點(diǎn)，所以，

在菱形中，所以，

所以，，，四點(diǎn)共面．

（2）點(diǎn)到平面的距離即點(diǎn)到平面的距離，取中點(diǎn),連結(jié)，，，

依題意可知△，△均為正三角形，所以，又平面平面，平面平面，平面，所以平面，即為三棱錐的高．

在中，，，

在△中，，，邊上的高，

所以△的面積．

設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，由，得，

又，

∴，

解得，所以點(diǎn)到平面的距離為．