Question

【題目】已知曲線上的點到點的距離與到定直線的距離之比為.

（1）求曲線的軌跡方程；

（2）若點關(guān)于原點的對稱點為，則是否存在經(jīng)過點的直線交曲線于兩點，且三角形的面積為，若存在，求出直線的方程；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（１） ；（２）存在；或．

【解析】

試題分析：（１）由題意可建立等式，整理可得關(guān)于的方程；（２）分兩種情況：一、斜率不存在，經(jīng)驗證不符合題意；二、斜率存在，可設(shè)點斜式方程，聯(lián)立直線與橢圓方程得，可求得點到直線的距離，利用面積為，可求得斜率，可得直線的方程．

試題解析： （1）依題意得，，化簡整理可得

∴曲線的軌跡方程為

（2）依題意得.

若直線的斜率不存在，直線的方程為，此時，到直線的距離為4，

三角形的面積為，不滿足題意.

若直線的斜率存在，根據(jù)題意設(shè)直線的方程為：，，，

聯(lián)立方程組，消去可得：，

，，

則，

設(shè)點到直線的距離為，則，

，

根據(jù)題意可得：，解得或，

∴存在直線或滿足題意.