Question

【題目】如圖（a），在直角梯形ABCD中，∠ADC＝90°，CD∥AB，AB＝8，AD＝CD＝4，將△ADC沿AC折起，使平面ADC⊥平面ABC，得到幾何體D－ABC，如圖（b）所示．

（1）求證：BC⊥平面ACD；

（2）求幾何體D－ABC的體積．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析（2）

【解析】

試題分析：（1）證明AC⊥BC，利用平面與平面垂直的性質(zhì)定理，證明BC⊥平面ACD．（2）由（1）可知，BC為三棱錐B-ACD的高，求出BC，S△ACD，即可求解VB-ACD，由等體積性可知，求解幾何體D-ABC的體積

試題解析：（1）證明：在圖中，可得AC＝BC＝4，從而AC2＋BC2＝AB2，

故AC⊥BC，又平面ADC⊥平面ABC，平面ADC∩平面ABC＝AC，BC平面ABC，

∴BC⊥平面ACD.

（2）解：由（1）可知，BC為三棱錐B－ACD的高，BC＝4，S△ACD＝8，

∴VB－ACD＝S△ACD·BC＝×8×4＝，

由等體積性可知，幾何體D－ABC的體積為