Question

【題目】已知不等式的解集為(1，t)，記函數(shù).

(1)求證：函數(shù)y＝f(x)必有兩個(gè)不同的零點(diǎn)；

(2)若函數(shù)y＝f(x)的兩個(gè)零點(diǎn)分別為，，試將表示成以為自變量的函數(shù)，并求的取值范圍；

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析（2）

【解析】

（1）先根據(jù)不等式的解集為(1，t)證明，對(duì)于函數(shù)，由，可得必有兩個(gè)不同零點(diǎn)；（2）化簡(jiǎn)等于，由不等式的解集為，可得有，化簡(jiǎn)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)可得的范圍，從而求得的取值范圍.

(1)由題意知a＋b＋c＝0，且－ >1，a<0且 >1，

∴ac>0，

∴對(duì)于函數(shù)f(x)＝ax 2 ＋(a－b)x－c有Δ＝(a－b) 2 ＋4ac>0，

∴函數(shù)y＝f(x)必有兩個(gè)不同零點(diǎn)．

(2)|m－n| 2 ＝(m＋n) 2 －4mn＝，

，

由不等式ax 2 ＋bx＋c>0的解集為(1，t)可知，

方程ax 2 ＋bx＋c＝0的兩個(gè)解分別為1和t(t>1)，

由根與系數(shù)的關(guān)系知 ＝t，

∴，t∈(1，＋∞)．

∴|m－n|> ，∴|m－n|的取值范圍為( ，＋∞)．