Question

已知圓，直線。
（Ⅰ）求證：對(duì)，直線與圓C總有兩個(gè)不同交點(diǎn).
（Ⅱ）設(shè)與圓C交于不同兩點(diǎn)A、B，求弦AB的中點(diǎn)M的軌跡方程.

Answer 1

（1）見解析；（2）.

本試題主要考查了直線與圓的位置關(guān)系的運(yùn)用。
解：
（1）
解法一：
圓的圓心為，半徑為。
∴圓心C到直線的距離…………3分
∴直線與圓C相交，即直線與圓C總有兩個(gè)不同交點(diǎn)；……………………6分
解法二：
由方程可得：m(x-1)-y+1=0,令x=1,則y=1
∴對(duì)于恒過定點(diǎn)P(1,1),又1²+(1-1)²<5    ………………………3分
∴P點(diǎn)在圓C內(nèi)部
∴直線與圓C相交，即直線與圓C總有兩個(gè)不同交點(diǎn)； ……………………6分
（2）由（1）得過定點(diǎn)P(1,1)
當(dāng)M與P不重合時(shí)，連結(jié)CM、CP，則，
∴ （或者k_CM.k_MP=-1）………………………………………9分
設(shè)，則，
化簡(jiǎn)得：
當(dāng)M與P重合時(shí)，也滿足上式。
故弦AB中點(diǎn)的軌跡方程是 ……………………12分