Question

已知關(guān)于x方程xlnx=ax+1（a∈R），下列說(shuō)法正確的是（　�。�

A．方程可能沒(méi)有實(shí)數(shù)根

B．方程可能有兩個(gè)實(shí)數(shù)根

C．方程一定有一個(gè)實(shí)數(shù)根

D．方程一定有兩個(gè)實(shí)數(shù)根

Answer 1

分析：先將方程變形為lnx=a+

1

x

，構(gòu)造函數(shù)f（x）=lnx-a-

1

x

，確定函數(shù)f（x）=lnx-a-

1

x

在（0，+∞）上單調(diào)增，再利用零點(diǎn)存在定理即可得到結(jié)論．

解答：解：∵x＞0，∴方程xlnx=ax+1可化為lnx=a+

1

x

構(gòu)造函數(shù)f（x）=lnx-a-

1

x

，則f′（x）=

1

x

+

1

x2

＞0
∴函數(shù)f（x）=lnx-a-

1

x

在（0，+∞）上單調(diào)增
∵x→0時(shí)，f（x）＜0，x→+∞時(shí)，f（x）＞0
∴方程一定有一個(gè)實(shí)數(shù)根
故選C．

點(diǎn)評(píng)：本題重點(diǎn)考查方程根的存在性，考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，解題的關(guān)鍵是構(gòu)建函數(shù)，確定函數(shù)的單調(diào)性．