Question

【題目】已知函數(shù)，.

（1）當(dāng)時(shí)，證明：；

（2）若在只有一個(gè)零點(diǎn)，求.

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）2

【解析】

（1）當(dāng)時(shí)，，其定義域?yàn)?/span>，利用導(dǎo)函數(shù)可求得在上的單調(diào)性，進(jìn)而可證明；

（2）若或，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，可證明函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)不唯一，與已知條件矛盾；若時(shí)，由（1）可知，在只有一個(gè)零點(diǎn).

（1）當(dāng)時(shí)，，其定義域?yàn)?/span>，

令，則，

若，則，則，則在上單調(diào)遞減，

又，故，故在上單調(diào)遞增，

又，故對(duì)任意，恒成立；

若，因?yàn)?/span>且，所以，則在上單調(diào)遞減，

又，故對(duì)任意，恒成立.

綜上，當(dāng)時(shí)，對(duì)任意，恒成立.

（2）①若時(shí)，令，則，

易知時(shí)，，則，即在上單調(diào)遞減，

由，且，，

結(jié)合零點(diǎn)存在性定理知在內(nèi)存在實(shí)數(shù)使得，

故時(shí)，單調(diào)遞增，時(shí)，單調(diào)遞減.

由，可知.

因?yàn)?/span>，所以，即，

所以，

因?yàn)?/span>時(shí)，，所以，

因?yàn)?/span>，，所以在上存在一個(gè)不為0的零點(diǎn)，

因?yàn)?/span>，所以時(shí)，函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)不唯一，與題意矛盾，所以；

②若時(shí)，，易知在上單調(diào)遞減，

又，，

結(jié)合零點(diǎn)存在性定理知，存在使得，

故當(dāng)時(shí)，，時(shí)，，

即在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，

又，故；

構(gòu)造函數(shù)，，則，

則，顯然時(shí)，，

故在單調(diào)遞減，又，故，故在單調(diào)遞減，

又，故，即，對(duì)任意恒成立，

因?yàn)?/span>，所以，故，即，故恒成立，

所以，

因?yàn)?/span>時(shí)，，而，，所以，即，

所以在上存在一個(gè)大于0的零點(diǎn)，

因?yàn)?/span>，所以時(shí)，函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)不唯一，與題意矛盾，所以；

若時(shí)，由（1）知，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，且，顯然函數(shù)在只有一個(gè)零點(diǎn).

綜上，要使在只有一個(gè)零點(diǎn)，則.