Question

函數(shù)f(x)=

a，(x=3) ( 1 3 )|x-3|+2(x≠3)

，若關(guān)于x的方程2f²（x）-（2a+5）f（x）+5a=0有五個不同的實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù)a的范圍（　　）

• A、（1，

  5

  2

  ）∪（

  5

  2

  ，3）
• B、（2，3）
• C、（2，

  5

  2

  ）∪（

  5

  2

  ，3）
• D、（1，3）

Answer 1

考點(diǎn)：分段函數(shù)的應(yīng)用

專題：綜合題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：題中原方程2f²（x）-（2a+5）f（x）+5a=0有5個不同實(shí)數(shù)解，即要求對應(yīng)于f（x）等于某個常數(shù)有3個不同實(shí)數(shù)解，故先根據(jù)題意作出f（x）的簡圖，由圖可知，只有當(dāng)f（x）=a時，它有三個根；再結(jié)合2f²（x）-（2a+5）f（x）+5a=0有兩個不等實(shí)根，即可求出結(jié)論．

解答：解：∵題中原方程2f²（x）-（2a+5）f（x）+5a=0有且只有5個不同實(shí)數(shù)解，
∴即要求對應(yīng)于f（x）等于某個常數(shù)有3個不同實(shí)數(shù)解，
∴故先根據(jù)題意作出f（x）的簡圖
由圖可知，只有當(dāng)f（x）=a時，它有三個根．
∴有：2＜a＜3    ①．
再根據(jù)2f²（x）-（2a+5）f（x）+5a=0有兩個不等實(shí)根，
得：△=（2a+5）²-4×2×5a＞0⇒a≠

5

2

    ②
結(jié)合①②得：1＜a＜

5

2

或

5

2

＜a＜2．
故選：C．

點(diǎn)評：本題考查了函數(shù)的圖象與一元二次方程根的分布的知識，屬于難題，采用數(shù)形結(jié)合的方法解決，使本題變得易于理解．?dāng)?shù)形結(jié)合是數(shù)學(xué)解題中常用的思想方法，能夠變抽象思維為形象思維，有助于把握數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)；另外，由于使用了數(shù)形結(jié)合的方法，很多問題便迎刃而解，且解法簡捷．