【題目】已知函數(shù)
（
為自然對數(shù)的底，
，
為常數(shù)且
）
（1）當(dāng)
時，討論函數(shù)
在區(qū)間
上的單調(diào)性；
（2）當(dāng)
時，若對任意的
，
恒成立，求實數(shù)的取值范圍．
【答案】（1）見解析；（2）
【解析】
（1）
時，求得
，當(dāng)
時，恒有
．當(dāng)
時，由
，得
，由
，得
，再由
和
分類討論，能求出結(jié)果．
（2）當(dāng)
時，求得
，推導(dǎo)出
，再由
和
進行分類討論經(jīng)，利用導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)能求出足條件的實數(shù)
的取值范圍．
（1）由題知時，
，
，
，
①當(dāng)時，得函數(shù)
在
上單調(diào)遞減；
②當(dāng)時，由，得，由，得，
Ⅰ.當(dāng)時，函數(shù)在區(qū)間
上單調(diào)遞減，在區(qū)間
上單調(diào)遞增；
Ⅱ.當(dāng)時，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增．
（2）時，
，
則
，
由（1）知，函數(shù)
在區(qū)間上單調(diào)遞增，
所以當(dāng)
時，
，即
，
∴
．
①當(dāng)
時，
在區(qū)間
上恒成立，即在上單調(diào)遞增，
∴
（合題意）．
②當(dāng)
時，
由
，得
，且
在上單調(diào)遞增，
又
，
，
，
，
故在
上存在唯一的零點
，當(dāng)
時，
，
即
在
上遞減，此時
，知在上遞減，
此時
與已知矛盾（不合題意），
綜上：滿足條件的實數(shù)
的取值范圍是
．
名校課堂系列答案科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】如圖所示，
是一塊邊長為7米的正方形鐵皮，其中
是一半徑為6米的扇形，已經(jīng)被腐蝕不能使用，其余部分完好可利用．工人師傅想在未被腐蝕部分截下一個有邊落在BC與CD上的長方形鐵皮
，其中P是
上一點．設(shè)
，長方形的面積為S平方米．
（1）求S關(guān)于
的函數(shù)解析式；
（2）設(shè)
，求S關(guān)于t的表達(dá)式以及S的最大值．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】已知AB是圓O的直徑，C，D是圓上不同兩點，且
，
，
圓O所在平面．
（1）求直線PB與CD所成角；
（2）若PB與圓O所在平面所成角為
，且
，求二面角
的余弦值.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】某公司為確定下一年度投入某種產(chǎn)品的宣傳費，需了解年宣傳費對年銷售量(單位：t)的影響.該公司對近5年的年宣傳費和年銷售量數(shù)據(jù)進行了研究，發(fā)現(xiàn)年宣傳費x(萬元)和年銷售量y(單位：t)具有線性相關(guān)關(guān)系，并對數(shù)據(jù)作了初步處理，得到下面的一些統(tǒng)計量的值.
(1)根據(jù)表中數(shù)據(jù)建立年銷售量y關(guān)于年宣傳費x的回歸方程；
(2)已知這種產(chǎn)品的年利潤z與x，y的關(guān)系為
，根據(jù)(1)中的結(jié)果回答下列問題：
①當(dāng)年宣傳費為10萬元時，年銷售量及年利潤的預(yù)報值是多少?
②估算該公司應(yīng)該投入多少宣傳費，才能使得年利潤與年宣傳費的比值最大.
附：回歸方程
中的斜率和截距的最小二乘估計公式分別為
參考數(shù)據(jù)：
.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】[選修 4-4]參數(shù)方程與極坐標(biāo)系
在平面直角坐標(biāo)系
中，已知曲線
： 
，以平面直角坐標(biāo)系
的原點
為極點， 
軸正半軸為極軸，取相同的單位長度建立極坐標(biāo)系.已知直線 
： 
.
(Ⅰ)試寫出直線
的直角坐標(biāo)方程和曲線
的參數(shù)方程；
(Ⅱ)在曲線
上求一點
，使點
到直線
的距離最大，并求出此最大值.
[選修 4-5]不等式選講
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】橢圓
（
）的離心率是
，點
在短軸
上，且
。
（1）球橢圓
的方程；
（2）設(shè)
為坐標(biāo)原點，過點
的動直線與橢圓交于
兩點。是否存在常數(shù)
，使得
為定值？若存在，求
的值；若不存在，請說明理由。
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】某電動車售后服務(wù)調(diào)研小組從汽車市場上隨機抽取20輛純電動汽車調(diào)查其續(xù)駛里程（單次充電后能行駛的最大里程），被調(diào)查汽車的續(xù)駛里程全部介于50公里和300公里之間，將統(tǒng)計結(jié)果分成5組：
，繪制成如圖所示的頻率分布直方圖.
（1）求續(xù)駛里程在
的車輛數(shù)；
（2）求續(xù)駛里程的平均數(shù)；
（3）若從續(xù)駛里程在的車輛中隨機抽取2輛車，求其中恰有一輛車的續(xù)駛里程在
內(nèi)的概率.
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