Question

如圖，在中，∠A是直角，，有一個(gè)橢圓以為一個(gè)焦點(diǎn)，另一個(gè)焦點(diǎn)Q在AB上，且橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)A、B.

（1）求橢圓的離心率；

（2）若以PQ所在直線為軸，線段PQ的垂直平分線為軸建立直角坐標(biāo)系，求橢圓的方程；

（3）在（2）的條件下，若經(jīng)過(guò)點(diǎn)Q的直線將的面積分為相等的兩部分，求直線的方程.

Answer 1

（1）因?yàn)闄E圓以P為一個(gè)焦點(diǎn)，另一個(gè)焦點(diǎn)Q在AB上，且橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)A、B，

     所以由橢圓的定義知，

     因此，解得.

     于是橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)，焦距，

     故橢圓的離心率.

（2）依題意，可設(shè)橢圓方程為，

    由（1）知，，∴，∴橢圓方程為.

（3）依題意，設(shè)直線的方程為，

設(shè)直線與PA相交于點(diǎn)C，則，故，從而.

設(shè)，由，得，解得.

設(shè)，由，得，解得.

∴，∴直線的方程為.