Question

如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠BAC=90°，AB=AC=AA₁=1，D是棱CC₁上的一點(diǎn)，P是AD的延長(zhǎng)線與A₁C₁的延長(zhǎng)線的交點(diǎn)，且PB₁∥平面BDA₁
（Ⅰ）求證：CD=C₁D；
（Ⅱ）求二面角A-A₁D-B的平面角的余弦值；
（Ⅲ）求點(diǎn)C到平面B₁DP的距離．

Answer 1

分析：（I）°由題意及圖形建立空間直角坐標(biāo)系，寫出相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)，利用AC∥PC₁，建立點(diǎn)D的汗有未知數(shù)x的坐標(biāo)，利用PB₁∥平面BDA₁建立x的方程，解出即證出所求；
（II）由題意及（I）所建立的坐標(biāo)系，利用平面法向量與二面角的大小之間的關(guān)系求出二面角的大��；
（III）利用空間向量中求帶到平面的距離公式直接求出點(diǎn)到平面的距離．

解答：解：（I）由題意作出如下圖形并建立圖示的空間直角坐標(biāo)系：
以A₁點(diǎn)為原點(diǎn)，A₁B₁，A₁C₁，A₁A所在的直線分別為x，y，z軸，
建立圖示的空間直角坐標(biāo)系，則A₁（0，0，0）B₁（1，0，0）C₁（0，1，0）B（1，0，1）
（I）設(shè)C₁D=x，
∵AC∥PC₁
∴

C1P

AC

=

C1D

CD

=

x

1-x

可設(shè)D（0，1，x），則P(0，1+

x

1-x

，0)，
∴

A1B

=(1，0，1)   

A1D

=（0，1，x），

B1P

=(-1，1+

x

1-x

，0)   
設(shè)平面BA₁D的一個(gè)法向量為

n

=（a，b，c），
則

n • A1B =0 n • A1D =0

?

a+c=0 b+cx=0

  令a=1，則

n

=（1，x，-1）∵PB₁∥平面BA₁D
∴

n •

B1P

=1×(-1)+x•(1+

x

1-x

)+(-1)×0=0?x=

1

2

；
故CD=C₁D．

（II）由（I）知，平面BA₁D的一個(gè)法向量為

n

=(1，

1

2

，-1) 
又

m

=（1，0，0）為平面AA₁D的一個(gè)法向量，∴cos＜

n

，

m

＞=

n • m

| n |•| m|

=

2

3

．
故二面角A-A₁D-B的平面角的余弦值為

2

3

．
（III）∵

PB1

=(1，-2，0)，

PD

=(0，-1，

1

2

)  
設(shè)平面B₁DP的一個(gè)法向量為

p

=（x，y，z），
則

p • PB1 =0 p • PD =0

?

x-2y=0 -y+ z 2 =0

 
令z=1，∴

p

=(1，

1

2

，1) 
又

DC

=(0，0，

1

2

)∴C到平面B₁PD的距離d=

| DC • p |

|p |

=

1

3

．

點(diǎn)評(píng)：此題重點(diǎn)考查了利用空間向量的方法求點(diǎn)到平面的距離和二面角的大小，還考查了利用方程的思想求解坐標(biāo)中所設(shè)的變量的大�。�