Question

在數(shù)列{a_n}中，已知 a_n+1=a_n-4且 3a₄=7a₇，S_n為數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和，S_n有最大值還是最小值？求出這個(gè)最值．

Answer 1

解：∵a_n+1=a_n-4
∴a_n+1-a_n=-4
∴數(shù)列{a_n}為公差為-4數(shù)列的等差數(shù)列
∵3a₄=7a₇
∴a₁=33
∴a_n=-4n+37
令a_n≥0
∴n≤
∴等差數(shù)列{a_n}的前9項(xiàng)均為正從第10項(xiàng)開(kāi)始均為負(fù)
∴數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和Sn有最大值
∴（s_n）mnx=s9=9×33-×9×8×（-4）=153
即數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和Sn有最大值且最大值為153
分析：根據(jù)a_n+1=a_n-4可得出數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列且公差為-4再根據(jù) 3a₄=7a₇即可求出a₁從而求出通項(xiàng)a_n=-4n+37可令a_n≥0求出n的范圍再結(jié)合等差數(shù)列的函數(shù)特性就可判斷出等差數(shù)列{a_n}中項(xiàng)的正負(fù)的分布情況進(jìn)而可求出S_n有最大值還是有最小值然后根據(jù)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式即可求出這個(gè)最值．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了利用等差數(shù)列的性質(zhì)求前n項(xiàng)和的最大最小值．解題的關(guān)鍵是要根據(jù)等差數(shù)列的函數(shù)特性（要么遞增要么遞減要么是常數(shù)列）再結(jié)合a_n≥0求出的n的范圍即可對(duì)此數(shù)列項(xiàng)的正負(fù)情況作出判斷后問(wèn)題就迎刃而解了！