Question

在數(shù)列{a_n}中，已知a₁=

1

4

，

an+1

an

=

1

4

，b_n+2=3log 

1

4

a_n（n∈N^*）．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）求證：數(shù)列{b_n}是等差數(shù)列；
（Ⅲ）設(shè)cn=

3

bn•bn+1

，S_n是數(shù)列{c_n}的前n項和，求使Sn＜

m

20

對所有n∈N^*都成立的最小正整數(shù)m．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由

an+1

an

=

1

4

，易知數(shù)列{a_n}是公比為

1

4

的等比數(shù)列，又a₁=

1

4

，通項公式即求．
（Ⅱ）b_n=3log 

1

4

a_n-2=3n-2，利用定義證明即可
（Ⅲ）cn=

3

bn•bn+1

=

3

(3n-2)(3n+1)

=

1

3n-2

-

1

3n+1

．裂項后求得Sn=1-

1

3n+1

須Sn的最大值小于

m

20

．

解答：解：（Ⅰ）∵

an+1

an

=

1

4

，∴數(shù)列{a_n}是公比為

1

4

的等比數(shù)列，又a₁=

1

4

，所以數(shù)列{a_n}的通項公式為a_n=(

1

4

)n．
（Ⅱ）b_n=3log 

1

4

a_n-2=3n-2，b_n+1-b_n=3n+1-（3n-2）=3，所以數(shù)列{b_n}是首項b1=1，公差d=3的等差數(shù)列．
（Ⅲ）由（Ⅱ）知cn=

3

bn•bn+1

=

3

(3n-2)(3n+1)

=

1

3n-2

-

1

3n+1

所以Sn=(1-

1

4

)+(

1

4

-

1

7

)+…(

1

3n-2

-

1

3n+1

)=1-

1

3n+1

…..（11分）
因此，使得1-

1

3n+1

＜

m

20

(n∈N*)成立的m須且僅須滿足1≤

m

20

，即m≥20，滿足要求的最小整數(shù)m為20．

點評：本題主要考查了數(shù)列的遞推公式在求解數(shù)列的通項公式中的應(yīng)用及等比數(shù)列的通項公式、裂項求和方法的應(yīng)用，不等式恒成立參數(shù)求解．屬于中檔綜合題．