Question

 已知函數(shù)是在上每一點(diǎn)均可導(dǎo)的函數(shù)，若 在時恒成立．

（1）求證：函數(shù)在上是增函數(shù)；

（2）求證：當(dāng)時，有；

（3）請將（2）問推廣到一般情況，并證明你的結(jié)論．

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Answer 1

【答案】

 【解析】（1）由得因?yàn)?sub>，

    所以在時恒成立，所以函數(shù)在上是增函數(shù)．……3分

（2）由（1）知函數(shù)在上是增函數(shù)，所以當(dāng)時，

有成立，……5分

從而，

兩式相加得．……7分

（3）推廣到一般情況為：

若，則，．……8分

以下用數(shù)學(xué)歸納法證明

（1）當(dāng)時，有（2）已證成立，……9分

（2）假設(shè)當(dāng)時成立，即

那么當(dāng)時，

成立，即當(dāng)時也成立．

    有（1）（2）可知不等式對一切時都成立．……12分