Question

已知函數(shù)是在上每一點(diǎn)均可導(dǎo)的函數(shù)，若 在時(shí)恒成立．

（1）求證：函數(shù)在上是增函數(shù)；

（2）求證：當(dāng)時(shí)，有；

（3）請(qǐng)將（2）問推廣到一般情況，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

見解析

解析:

（1）由得因?yàn)?img width=95 height=24 src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/1899/sx/9/233009.gif" >，

       所以在時(shí)恒成立，所以函數(shù)在上是增函數(shù)．……3分

（2）由（1）知函數(shù)在上是增函數(shù)，所以當(dāng)時(shí)，

有成立，……5分

從而，

兩式相加得．……7分

（3）推廣到一般情況為：

若，則，．……8分

以下用數(shù)學(xué)歸納法證明

（1）當(dāng)時(shí)，有（2）已證成立，……9分[來源:Zxxk.Com]

（2）假設(shè)當(dāng)時(shí)成立，即

那么當(dāng)時(shí)，

成立，即當(dāng)時(shí)也成立．

       有（1）（2）可知不等式對(duì)一切時(shí)都成立．……12分