Question

（2013•和平區(qū)一模）若拋物線y²=2px上恒有關(guān)于直線x+y-1=0對稱的兩點(diǎn)A，B，則p的取值范圍是（　�。�

• A．（-

  2

  3

  ，0）
• B．（0，

  3

  2

  ）
• C．（0，

  2

  3

  ）
• D．（-∞，0）∪（

  2

  3

  ，+∞）

Answer 1

分析：設(shè)出A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，因?yàn)锳，B在拋物線上，把兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入拋物線方程，作差后求出AB中點(diǎn)的縱坐標(biāo)，又AB的中點(diǎn)在直線x+y-1=0上，代入后求其橫坐標(biāo)，然后由AB中點(diǎn)在拋物線內(nèi)部列不等式求得實(shí)數(shù)p的取值范圍．

解答：解：設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
因?yàn)辄c(diǎn)A和B在拋物線上，所以有y12=2px1①
y22=2px2②
①-②得，y12-y22=2p(x1-x2)．
整理得

y1-y2

x1-x2

=

2p

y1+y2

，
因?yàn)锳，B關(guān)于直線x+y-1=0對稱，所以k_AB=1，即

2p

y1+y2

=1．
所以y₁+y₂=2p．
設(shè)AB的中點(diǎn)為M（x₀，y₀），則y0=

y1+y2

2

=

2p

2

=p．
又M在直線x+y-1=0上，所以x₀=1-y₀=1-p．
則M（1-p，p）．
因?yàn)镸在拋物線內(nèi)部，所以y02-2px0＜0．
即p²-2p（1-p）＜0，解得0＜p＜

2

3

．
所以p的取值范圍是（0，

2

3

）．
故選C．

點(diǎn)評：本題考查了直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，考查了點(diǎn)差法，是解決與弦中點(diǎn)有關(guān)問題的常用方法，解答的關(guān)鍵是由AB中點(diǎn)在拋物線內(nèi)部得到關(guān)于p的不等式，是中檔題．