Question

已知

a

=(x，1)，

b

=(x-2，-2)，且f(x)=

a

•

b

（1）當(dāng)函數(shù)f（x）取得最小值時，求向量

a

，

b

夾角的余弦值；
（2）若函數(shù)f（x）在區(qū)間（m，m+1）上是單調(diào)函數(shù)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）利用兩個向量的數(shù)量積公式求得f（x）=（x-1）²-3，可得當(dāng)x=1時，函數(shù)取得最小值為-3，此時，設(shè)向量

a

，

b

夾角為θ，則由兩個向量的夾角公式求得cosθ 的值．
（2）由于二次函數(shù)f（x）=（x-1）²-3的對稱軸為x=1，若函數(shù)f（x）在區(qū)間（m，m+1）上是單調(diào)函數(shù)，則得 m≥1，或 m+1≤1，由此求得實(shí)數(shù)m的取值范圍．

解答：解：（1）由題意可得f(x)=

a

•

b

=x（x-2）+1×（-2）=（x-1）²-3，故當(dāng)x=1時，函數(shù)取得最小值為-3，
此時，設(shè)向量

a

，

b

夾角為θ，則cosθ=

a • b

| a |•| b |

=

-3

2 • 1+4

=

-3 10

10

．
（2）由于二次函數(shù)f（x）=（x-1）²-3的對稱軸為x=1，若函數(shù)f（x）在區(qū)間（m，m+1）上是單調(diào)函數(shù)，則得 m≥1，或 m+1≤1，
解得 m≥1，或 m≤0，故實(shí)數(shù)m的取值范圍是[1，+∞）∪（-∞，1]．

點(diǎn)評：本題主要考查兩個向量的數(shù)量積的定義，兩個向量的數(shù)量積公式的應(yīng)用，二次函數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題．