Question

氣象臺(tái)A處向西300千米處有一個(gè)臺(tái)風(fēng)中心，若臺(tái)風(fēng)以每小時(shí)40千米的速度向東北方向移動(dòng)，距臺(tái)風(fēng)中心250千米以內(nèi)的地方都處在臺(tái)風(fēng)圈內(nèi)，問：氣象臺(tái)A處在臺(tái)風(fēng)圈內(nèi)的時(shí)間大約多長(zhǎng)？（提示：以現(xiàn)在臺(tái)風(fēng)中心位置點(diǎn)O為原點(diǎn)，以臺(tái)風(fēng)中心O點(diǎn)和氣象臺(tái)位置A點(diǎn)連線為x軸，建立如圖所示坐標(biāo)系）

Answer 1

分析：建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，可得以A為圓心的臺(tái)風(fēng)圈所在圓的方程為（x-300）²+y²=250²，臺(tái)風(fēng)移動(dòng)路線l的方程為y=x（x≥0），聯(lián)解直線與圓的方程并利用一元二次方程根的判別式，可得直線l與圓A有兩個(gè)交點(diǎn)B、C．再由韋達(dá)定理與兩點(diǎn)的距離公式加以計(jì)算，得到BC的長(zhǎng)即可算出臺(tái)風(fēng)影響該氣象臺(tái)的時(shí)長(zhǎng)．

解答：解：以現(xiàn)在臺(tái)風(fēng)中心位置點(diǎn)O為原點(diǎn)，以臺(tái)風(fēng)中心O點(diǎn)和氣象臺(tái)位置A點(diǎn)連線為x軸，建立如圖所示坐標(biāo)系．
以點(diǎn)A為圓心、半徑為250千米的圓的方程為（x-300）²+y²=250²，
臺(tái)風(fēng)移動(dòng)路線直線l的方程為y=x（x≥0），
由題意，可得只要直線l與圓A有交點(diǎn)，點(diǎn)A就處在臺(tái)風(fēng)圈內(nèi)，A處就受到影響．
由

y=x (x-300)2+y2=2502

，消去y得2x²-600x+27500=0，
∵△=600²-4×2×27500=140000＞0，
∴直線BC與圓A相交，可得直線l與圓A有兩個(gè)交點(diǎn)B、C，
設(shè)B（x₁，y₁），C（x₂，y₂），
∵

x1+x2=300 x1•x2=13750

∴|BC|=

(x1-x2)2+(y1-y2)2

=

2

[(x1+x2)2-4x1•x2]

=100

7

．
可得A處受臺(tái)風(fēng)影響的時(shí)間為

100 7

40

=

5 7

2

小時(shí)，約6小時(shí)37分鐘．
答：氣象臺(tái)A處必定受到臺(tái)風(fēng)影響，在臺(tái)風(fēng)圈內(nèi)的時(shí)間大約6小時(shí)37分鐘．

點(diǎn)評(píng)：本題給出實(shí)際應(yīng)用問題，求臺(tái)風(fēng)影響氣象臺(tái)的時(shí)長(zhǎng)．著重考查了圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、直線與圓位置關(guān)系與弦長(zhǎng)公式等知識(shí)，考查了直線與圓的知識(shí)在實(shí)際問題中的應(yīng)用，屬于中檔題．