Question

【題目】已知函數(shù)．

（1）若函數(shù)在處的切線方程，求實(shí)數(shù)a，b的值；

（2）若函數(shù)在和兩處得極值，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

（3）在（2）的條件下，若．求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1），．（2）（3）

【解析】

(1)對函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo),將代入,可以求得實(shí)數(shù)的值;

(2)對函數(shù)的導(dǎo)數(shù)再進(jìn)行求導(dǎo),對進(jìn)行分情況討論,在不同情況下,函數(shù)都有兩個(gè)極值，從而求出實(shí)數(shù)的取值范圍;

(3) 由題意得: ,即，令則,令,求導(dǎo)可得在上單調(diào)遞減,則,即．

由于,構(gòu)造函數(shù),求導(dǎo)可知在上單調(diào)遞減,計(jì)算即可得出結(jié)果.

解：（1）

由題意得：，即，

，即，所以，．

（2）由題意知：有兩個(gè)零點(diǎn)，，

令，而，

①當(dāng)時(shí)，恒成立，

所以單調(diào)遞減，此時(shí)至多個(gè)零點(diǎn)（舍）．

②當(dāng)時(shí)，令，解得：，

在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

所以．

因?yàn)?/span>有兩個(gè)零點(diǎn)，所以，

解得：．

因?yàn)?/span>，，且，

而在上單調(diào)遞減，

所以在上有1個(gè)零點(diǎn)．

又因?yàn)?/span>（易證），

則且，

而在上單調(diào)遞增，

所以在上有1個(gè)零點(diǎn)，

綜上：．

（3）由題意得：，即，

所以，令，

即，

令，，

令．而，

所以在上單調(diào)遞減，即，

所以在上單調(diào)遞減，即．

因?yàn)?/span>，，

令，而恒成立，

所以在上單調(diào)遞減，又，

所以．