Question

（本小題滿分12分）
某建筑物的上半部分是多面體, 下半部分是長方體（如圖）. 該建筑物的正視圖和側視圖（如圖）, 其中正(主)視圖由正方形和等腰梯形組合而成，側(左)視圖由長方形和等腰三角形組合而成.


（Ⅰ）求直線與平面所成角的正弦值；
（Ⅱ）求二面角的余弦值；
（Ⅲ）求該建筑物的體積.

Answer 1

（1）直線與平面所成角的正弦值為.
（2）二面角的余弦值為.（3）建筑物的體積為.

試題分析：解法1：（1）作平面，
垂足為，連接，則是直線與平面所成的角.  ………………1分
由于平面平面，
故是直線與平面所成的角.……2分
作，垂足為，連接，
∵平面，∴.
∵平面，平面，
∴平面.
由題意知，
在Rt△中，，
在Rt△ 中，，在Rt△ 中，，
∴直線與平面所成角的正弦值為.        ………………………… 4分
（2）延長交于點，連接，由（1）知平面
∵平面，∴.∵，∴. 
∴是二面角的平面角.        ………………………… 6分
在△中，，∵，∴.
∴二面角的余弦值為.             …………………………… 8分
（3）作交于點，作交于點，由題意知多面體可分割為兩個等體積的四棱錐和和一個直三棱柱.
四棱錐的體積為，
直三棱柱的體積為， 
∴多面體的體積為.         ……………10分
長方體的體積為.   ………… 11分
∴建筑物的體積為.  …………………… 12分
解法2：（參照解法1評分）
（1）以點為原點，所在直線為軸，所在直線為軸，所在直線為軸，建立空間直角坐標系（如圖），

作平面，垂足為，作，垂足為，依題意知，,
則，.
∴.
∵平面，∴平面的一個法向量為.
設直線與平面所成角為，則. 
∴直線與平面所成角的正弦值為.
（2）由(1)知,設平面的法向量為，
由， ，得取平面的一個法向量為.
設平面的法向量為，由，，得
∴平面的一個法向量為.
∵，   ∴二面角的余弦值為.
（3）（同解法1） 略
點評：本題通過考查直線與直線，直線與平面、平面與平面的位置關系等基礎知識，考查空間想像能力、推理論證能力、運算求解能力、考查化歸與轉(zhuǎn)化思想，函數(shù)與方程思想等．利用空間向量，往往使問題的解答得以簡化，屬中檔題。