Question

【題目】（本題滿分12分）已知極坐標(biāo)系的極點(diǎn)與直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)重合，極軸與直角坐標(biāo)系的x軸的正半軸重合，且兩個(gè)坐標(biāo)系的單位長(zhǎng)度相同．已知直線l的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），曲線C的極坐標(biāo)方程為．

（Ⅰ）若直線l的斜率為-1，求直線l與曲線C交點(diǎn)的極坐標(biāo)；

（Ⅱ）若直線l與曲線C相交弦長(zhǎng)為，求直線l的參數(shù)方程（標(biāo)準(zhǔn)形式）．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；

（Ⅱ）（為參數(shù)）或（為參數(shù)）

【解析】

試題分析：（Ⅰ）由直線的參數(shù)方程可知其過定點(diǎn)，從而由直線方程的點(diǎn)斜式可得直線的普通方程，將曲線的極坐標(biāo)方程按照極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)互化公式將其化為直角坐標(biāo)方程，然后將直線方程和曲線方程聯(lián)立求交點(diǎn)的直角作標(biāo)，再將其化為極坐標(biāo)． （Ⅱ）設(shè)出直線的斜率寫出直線方程的直角坐標(biāo)方程，由（Ⅰ）知曲線時(shí)圓心為半徑為的圓．先求圓心到直線的距離，再根據(jù)勾股定理可得關(guān)于的方程，從而可求得的值．即可知直線的傾斜角，從而可得直線的參數(shù)方程．

試題解析：解：（Ⅰ）直線的方程：，即；（1分）

，即，（2分）

聯(lián)立方程得，∴；（4分）

極坐標(biāo)為；（5分）

（Ⅱ），弦心距，（6分）

設(shè)直線l的方程為，∴ ，∴或．（8分）

∴直線： （為參數(shù)）或 （為參數(shù)）（10分）