Question

過點(diǎn)P（0，4）作圓x²+y²=4的切線L，L與拋物線y²=2px（p＞0）交于兩點(diǎn)A、B，且以AB為直徑的圓過原點(diǎn)O，求P的值．

Answer 1

分析：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是圓的切線方程，及直線與拋物線的關(guān)系，由L過點(diǎn)P（0，4）與圓x²+y²=4的相切，則我們可以設(shè)出直線的點(diǎn)斜式方程，根據(jù)圓心到直線的距離等于半徑，即可求出斜率的值，代入拋物線方程，即可得到交點(diǎn)，由于以AB為直徑的圓過原點(diǎn)O，故

OA

•

OB

=x₁•x₂+y₁•y₂=0，代入即可求出P值．

解答：解：由已知得切線的斜率一定存在，設(shè)切線的方程為y=kx+4，即kx-y+4=0，
由于L與圓x²+y²=4相切，
∴圓心到直線L的距離d=

4

1+k2

=2，解得k=±

3

當(dāng)k=

3

時(shí)，L的方程為：y=

3

x+4
聯(lián)立拋物線y²=2px（p＞0）方程后，易得：x1•x2=

16

3

y1•y2=

8 3

3

p
由于以AB為直徑的圓過原點(diǎn)O
所以x₁•x₂+y₁•y₂=0
解得：P=-

2 3

3

（舍去）
當(dāng)k=-

3

時(shí)，L的方程為：y=-

3

x+4
聯(lián)立拋物線y²=2px（p＞0）方程后，易得：x1•x2=

16

3

y1•y2=-

8 3

3

p
由于以AB為直徑的圓過原點(diǎn)O
所以x₁•x₂+y₁•y₂=0
解得：P=

2 3

3

綜上滿足條件的P為

2 3

3

點(diǎn)評(píng)：解答本題要注意兩個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)：一是求過一定點(diǎn)的圓的切線方程，首先必須判斷這點(diǎn)是否在圓上．若在圓上，則該點(diǎn)為切點(diǎn)，若點(diǎn)P（x₀，y₀）在圓（x-a）²+（y-b）²=r²（r＞0）上，則 過點(diǎn)P的切線方程為（x-a）（x₀-a）+（y-b）（y₀-b）=r²（r＞0）；若在圓外，切線應(yīng)有兩條．一般用“圓心到切線的距離等于半徑長”來解較為簡單．若求出的斜率只有一個(gè)，應(yīng)找出過這一點(diǎn)與x軸垂直的另一條切線．二是：以AB為直徑的圓過原點(diǎn)O，故

OA

•

OB

=x₁•x₂+y₁•y₂=0，