Question

（理數(shù)）（14分） 已知函數(shù)，．
（Ⅰ）設(shè)函數(shù)F(x)＝18f(x)－ [h(x)]，求F(x)的單調(diào)區(qū)間與極值；
（Ⅱ）設(shè)，解關(guān)于x的方程；
（Ⅲ）設(shè)，證明：．

Answer 1

（理數(shù)） 解：（Ⅰ），
．
令，得（舍去）．
當時．；當時，，
故當時，為增函數(shù)；當時，為減函數(shù)．
為的極大值點，且．………………………………4分
（Ⅱ）原方程可化為，即
……………6分

①當時，原方程有一解；
②當時，原方程有二解；…………8分
③當時，原方程有一解；
④當或時，原方程無解．……………………10分
（Ⅲ）由已知得，
．
設(shè)數(shù)列的前n項和為，且（）
從而有，當時，．
又
．
即對任意時，有，又因為，所以………14分．

略