Question

某工廠擬建一座平面圖（如圖所示）為矩形且面積為200m²的三級(jí)污水處理池，由于地形限制，長(zhǎng)、寬都不能超過(guò)16m．如果池外周壁建造單價(jià)為每米400元，中間兩條隔墻建造單價(jià)為每米248元，池底建造單價(jià)為每平方米80元（池壁厚度忽略不計(jì)，且池?zé)o蓋）．
（1）寫(xiě)出總造價(jià)y（元）與污水處理池長(zhǎng)x（m）的函數(shù)關(guān)系式，并指出其定義域；
（2）求污水處理池的長(zhǎng)和寬各為多少時(shí)，污水處理池的總造價(jià)最低？并求出最低總造價(jià)．

Answer 1

（1）因污水處理水池的長(zhǎng)為xm，則寬為

200

x

m，總造價(jià)y=400(2x+2×

200

x

)+248×

200

x

×2+80×200=800(x+

324

x

)+16000．（5分）
由題設(shè)條件

0＜x≤16 0＜ 200 x ≤16，解得12.5≤x≤16

即函數(shù)定義域?yàn)閇12.5，16]（7分）
（2）由（1）得y′=800(1-

324

x2

)（8分）
當(dāng)x∈[12.5，16]時(shí)，y'＜0；
故函數(shù)y=f（x）在[12.5，16]上是減函數(shù)．（10分）
∴當(dāng)x=16時(shí)，y取得最小值，
此時(shí)ymin=800(16+

324

16

)+16000=45000（元）此時(shí)

200

x

=

200

16

=12.5（13分）
綜上，當(dāng)污水處理池的長(zhǎng)為16m，寬為12.5m時(shí)，總造價(jià)最低，最低為45000元．（14分）