Question

（文）已知，邊AB上一點P₁，這里P₁異于A、B．由P₁引邊OB的垂線P₁Q₁，Q₁是垂足，再由Q₁引邊OA的垂線Q₁R₁，R₁是垂足．又由R₁引邊AB的垂線R₁P₂，P₂是垂足．同樣的操作連續(xù)進行，得到點 P_n、Q_n、R_n（n∈N^*）．設 ＜t_n＜1），如圖．
（1）．求的值；
（2）．某同學對上述已知條件的研究發(fā)現(xiàn)如下結論：，問該同學這個結論是否正確？并說明理由；
（3）．當P₁、P₂重合時，求△P₁Q₁R₁的面積．

Answer 1

【答案】分析：（1）先求的平方的值，然后開根號即可；
（2）該同學的結論正確，利用余弦定理求出cos∠ABO，然后求出，而，即可知道結論：是否正確；
（3）根據(jù)向量的夾角公式求出cos∠BOA和cos∠BAO，從而求出 以及的值，當P₁、P₂重合時，有t₁=t₂，求出t₁的值，最后根據(jù)可求出面積．
解答：解：（1）因為-----（1分）
則 ；所以，--------------（4分）
（2）該同學的結論正確．-----------------------------------------（5分）
由（1）與已知，得，
由余弦定理  -----------------（6分）
又∵，則
則，所以，---------（8分）
（3）由已知得   -------------（9分）
（或用余弦定理求得，也可）∵，∴；
 =-------------------------（11分）
所以  ----------------------------------------------（12分）
當P₁、P₂重合時，有t₁=t₂，解得，---------------------------------（13分）
此時，∴，，，，
易求 ，，，-------------（17分）
故---------------------------（18分）
點評：本題主要考查了向量的數(shù)量積以及向量的夾角公式，同時考查了分析問題的能力，以及計算能力，屬于中檔題．