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        1. 【題目】如圖,已知PA垂直于矩形ABCD所在的平面,M,N分別是AB,PC的中點,若∠PDA=45°,
          (1)求證:MN∥平面PAD且MN⊥平面PCD.
          (2)探究矩形ABCD滿足什么條件時,有PC⊥BD.

          【答案】
          (1)證明:如圖,取PD的中點E,連接AE,NE.

          E、N分別為PD,PC的中點,

          所以:EN∥CD, ,

          又M為AB的中點,

          所以: ,AM∥CD,

          EN∥AM,EN=AM,

          所以:四邊形AMNE為平行四邊形.

          MN∥AE,

          所以:MN∥平面PAD,

          PA⊥平面ABCD,∠PDA=45°,

          所以:△PAD是等腰直角三角形,

          所以:AE⊥PD.

          又CD⊥AD,CD⊥PA,AD交PA于A,

          所以:CD⊥平面PAD,AE平面PAD,

          所以:CD⊥AE,

          又CD交PD于D,

          所以:AE⊥平面PCD,

          則:MN⊥平面PCD


          (2)若 PC⊥BD,又PA⊥BD,PA交PC于P,

          所以:BD⊥平面PAC,

          所以:BD⊥AC,即矩形ABCD的對角線互相垂直.

          此時矩形為正方形.

          即當矩形ABCD為正方形時,滿足PC⊥BD.


          【解析】(1)利用三角形的中位線得到線線平行,進一步得到線面平行,利用線線垂直進一步轉化成線面垂直.(2)利用線面垂直轉化線線垂直,最后確定矩形是正方形.
          【考點精析】認真審題,首先需要了解直線與平面平行的判定(平面外一條直線與此平面內的一條直線平行,則該直線與此平面平行;簡記為:線線平行,則線面平行),還要掌握直線與平面垂直的判定(一條直線與一個平面內的兩條相交直線都垂直,則該直線與此平面垂直;注意點:a)定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視;b)定理體現(xiàn)了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉化的數(shù)學思想)的相關知識才是答題的關鍵.

          練習冊系列答案
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