Question

【題目】已知兩點(diǎn),直線相交于點(diǎn),且這兩條直線的斜率之積為．

(1)求點(diǎn)的軌跡方程;

(2)記點(diǎn)的軌跡為曲線,曲線上在第一象限的點(diǎn)的橫坐標(biāo)為,過點(diǎn)且斜率互為相反數(shù)的兩條直線分別交曲線于,求直線的斜率(其中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn))．

Answer 1

【答案】（1）=；（2）.

【解析】試題分析：本題主要考查點(diǎn)的軌跡方程、橢圓方程、直線的方程與斜率、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系,考查了轉(zhuǎn)化思想與邏輯推理能力.(1) 設(shè)點(diǎn),由題意可得=,化簡(jiǎn)可得曲線的方程: =;(2) 由題意可得點(diǎn),直線與直線的斜率互為相反數(shù),設(shè)直線的方程為= ,聯(lián)立橢圓方程,由根與系數(shù)的關(guān)系式求出點(diǎn)P的坐標(biāo),同理求出點(diǎn)Q的坐標(biāo),再利用直線的斜率公式化簡(jiǎn)可得結(jié)論.

試題解析：

(1)設(shè)點(diǎn),

∵=,

∴=,

整理得點(diǎn)所在的曲線的方程: =.

(2)由題意可得點(diǎn),

直線與直線的斜率互為相反數(shù),

設(shè)直線的方程為= ,與橢圓方程聯(lián)立,消去,

得: =,

由于=是方程的一個(gè)解,

所以方程的另一解為=,

同理,

故直線的斜率為:

====.