Question

【題目】如圖，將邊長(zhǎng)為2的正六邊形ABCDEF沿對(duì)角線BE翻折，連接AC、FD，形成如圖所示的多面體，且,（1）證明：平面ABEF平面BCDE； （2）求DE與平面ABC所成角的正弦值。

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）.

【解析】試題分析：（1）連接AC、BE，交點(diǎn)為G，推導(dǎo)出從而AG⊥平面BCDE，由此能證明平面ABEF⊥平面BCDE．
（2）以G為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以GC，GE，GA所在的直線為x軸，y軸，z軸建立如圖所示的坐標(biāo)系，利用向量法能求出FE與平面ABC所成角的正弦值．

試題解析：

（１）證明：正六邊形ABCDEF中，連接AC、BE，交點(diǎn)為G，易知，且，

在多面體中，由，知，故

又 平面，故平面，

又平面ABEF，所以平面ABEF平面BCDE．

（2）以G為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以GC，GE，GA所在的直線為x軸，y軸，z軸建立如圖所示的坐標(biāo)系．

由， ， ，

則

.

， ，

，

設(shè)平面ABC的法向量為，

則，即，令 ，得，

所以，

所以FE與平面ABC所成角的正弦值為