Question

【題目】已知橢圓C中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，且該橢圓經(jīng)過點(diǎn)（ ， ）和點(diǎn) ．求
（1）橢圓C的方程；
（2）P，Q，M，N四點(diǎn)在橢圓C上，F(xiàn)1為負(fù)半軸上的焦點(diǎn)，直線PQ，MN都過F1且 ，求四邊形PMQN的面積最小值和最大值．

Answer 1

【答案】
（1）解：由題意，設(shè)橢圓的方程為mx2+ny2=1（m，n＞0，m≠n），

代入點(diǎn)（ ， ）和點(diǎn) ，可得

m+ n=1， m+n=1，

解得m=1，n= ，

即有橢圓方程為x2+ =1

（2）解：由 ，可得直線PQ，MN垂直．

（ⅰ）若MN與PQ中一條斜率不存在，另一條斜率為0，

則四邊形PMQN的面積S= 2a =2b2=2；

（ⅱ）若PQ與NM的斜率均存在，

設(shè)PQ：y=kx+1與橢圓方程聯(lián)立

消去y可得（2+k2）x+2kx﹣1=0，則△=8（k2+1）＞0，

設(shè)P（x1，y1），Q（x2，y2），

則x1+x2=﹣ ，x1x2=﹣ ，

∴|PQ|= |x1﹣x2|= =2 ；

同理可得|MN|=2 ．

∴S= |PQ||MN|=4 = = ，

由k2+ ≥2，得 ≤S＜2．

由（ⅰ）（ⅱ）知，Smin= ，Smax=2

【解析】（1）由題意，設(shè)橢圓的方程為mx2+ny2=1（m，n＞0，m≠n），代入兩點(diǎn)的坐標(biāo)，建立方程組，從而可求橢圓的幾何量，即可求橢圓C的方程；（2）分斜率存在與存在分別討論，利用直線與橢圓聯(lián)立，根據(jù)韋達(dá)定理及弦長(zhǎng)公式，確定面積的表達(dá)式，運(yùn)用基本不等式可得最值，即可求得結(jié)論．