Question

設橢圓的左焦點為F，上頂點為A，過點A且與AF垂直的光線經(jīng)橢圓的右準線反射，反射光線與直線AF平行．
（1）求橢圓的離心率；
（2）設入射光線與右準線的交點為B，過A，B，F(xiàn)三點的圓恰好與直線3x一y+3=0相切，求橢圓的方程．

Answer 1

解：（1）因為入射光線與反射光線垂直，
所以入射光線與準線所成的角為45°，…（2分）
即∠FAO=45°，
所以b=c，
所以橢圓的離心率為． …（6分）
（2）由（1）知，
可得A（0，c），B（2c，-c），又AF⊥AB，
所以過A，B，F(xiàn)三點的圓的圓心坐標為，
半徑，…（8分）
因為過A，B，F(xiàn)三點的圓恰好與直線3x-y+3=0相切，…（10分）
所以圓心到直線3x-y+3=0的距離等于半徑r
，即，
得c=1，…（14分）
所以，
所以橢圓的方程為． …（16分）
分析：（1）因為入射光線與反射光線垂直，所以入射光線與準線所成的角為45°，由此能求出橢圓的離心率．
（2）由，得A（0，c），B（2c，-c），由AF⊥AB，知過A，B，F(xiàn)三點的圓的圓心坐標為，半徑，由此能夠求出橢圓的方程．
點評：本題考查解三角形在生產(chǎn)實際中的應用，考查運算求解能力，推理論證能力；考查函數(shù)與方程思想，化歸與轉(zhuǎn)化思想．綜合性強，是高考的重點，易錯點是知識體系不牢固．解題時要注意余弦定理和數(shù)形結合思想的靈活運用．