Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，以O(shè)為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系的極坐標(biāo)方程為，直線l的參數(shù)方程為，（其中為參數(shù)）直線l與交于A，B兩個不同的點．

求傾斜角的取值范圍；

求線段AB中點P的軌跡的參數(shù)方程．

Answer 1

【答案】（1）；（2）（是參數(shù)）.

【解析】

（1）直接利用轉(zhuǎn)換關(guān)系，把參數(shù)方程直角坐標(biāo)方程和極坐標(biāo)方程之間進(jìn)行轉(zhuǎn)換進(jìn)一步利用點到直線的距離公式的應(yīng)用求出的取值范圍．

（2）進(jìn)一步利用直線和曲線的位置關(guān)系和一元二次方程根和系數(shù)關(guān)系和中點的坐標(biāo)公式的應(yīng)用求出結(jié)果．

（1）直線的傾斜角為，

當(dāng)時，直線（即軸）與交于兩個不同的點，符合題目要求；

當(dāng)時，記，

直線的參數(shù)方程為 化為普通方程得，

圓心到直線的距離．

直線與交于不同的兩點，

解得：或．

當(dāng)時，直線的傾斜角的取值范圍是；

當(dāng)時，的取值范圍是,

綜上，直線的傾斜角的取值范圍是．

（2）的極坐標(biāo)方程為，其直角坐標(biāo)方程為，

因直線的參數(shù)方程為（其中為參數(shù)，

故可設(shè)，，

代入中得到：，

注意到 ，為方程的根，故，

點的坐標(biāo)為即，

所以點的軌跡參數(shù)方程為：（為參數(shù)）．