Question

【題目】已知拋物線： 的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，三個(gè)點(diǎn)， ， 中恰有兩個(gè)點(diǎn)在上．

（1）求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）過的直線交于， 兩點(diǎn)，點(diǎn)為上任意一點(diǎn)，證明：直線， ， 的斜率成等差數(shù)列．

Answer 1

【答案】(1) (2)見解析

【解析】試題分析：（1）由對稱關(guān)系可知， 兩點(diǎn)在上，求得拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）設(shè)直線的方程為，聯(lián)立拋物線方程，得到韋達(dá)定理，表示出直線的斜率，證明滿足等差中項(xiàng)公式即可。

試題解析：

（I）因?yàn)閽佄锞�： 關(guān)于x軸對稱，

所以中只能是兩點(diǎn)在上，

帶入坐標(biāo)易得，所以拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為

（II）證明：拋物線的焦點(diǎn)的坐標(biāo)為，準(zhǔn)線的方程為.

設(shè)直線的方程為， .

由，可得，所以，

于是，

設(shè)直線的斜率分別為，

一方面，

.

另一方面， .

所以，即直線的斜率成等差數(shù)列