Question

某校為了對學生的語文、英語的綜合閱讀能力進行分析，在全體學生中隨機抽出5位學生的成績作為樣本，這5位學生的語文、英語的閱讀能力等級得分（6分制）如下表：

x （語文閱讀能力）	2	3	4	5	6
y （英語閱讀能力）	1.5	3	4.5	5	6

（Ⅰ）如果以能力等級分數(shù)不小于3.5分作為良好的標準，若從該樣本中任意抽取2名學生成績，求這2名學生的語文、英語閱讀能力均為良好的概率；
（Ⅱ）根據(jù)上表數(shù)據(jù)
（�。┱埉嫵錾媳頂�(shù)據(jù)的散點圖；
（ⅱ）請根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù)，用最小二乘法求出y關于x的線性回歸方程

y

=bx+a．

Answer 1

分析：（Ⅰ）樣本中，語文、英語閱讀能力均為良好的人數(shù)為3人，本題即為從5人中抽2人，恰有2人成績良好的概率，屬古典概型，事件空間共有C₅²個基本事件，研究事件在其中占了C₃²個，故概率為

C 2 3

C 2 5

（Ⅱ）（i）先建立平面直角坐標系，再將表中數(shù)據(jù)作為點的坐標描出即可
（ii）求回歸直線方程的方法有兩種，一種是使用公式，先設出直線方程，再利用公式求出系數(shù)a，b，即可，另一種方法就是最小二乘法，通過求函數(shù)的最小值得回歸直線的系數(shù)a，b，一般情況下我們常使用第一種方法，但要知道公式才行

解答：解：（Ⅰ）設元素A（2，1.5），B（3，3），C（4，4.5），D（5，5），E（6，6）
從該樣本中任意抽取2名同學的基本事件分布如下：
（A，B），（A，C），（A，D），（A，E），（B，C），（B，D），（B，E），（C，D），（C，E），（D，E）總共有10個基本事件．
語文、英語閱讀能力均為良好的基本事件包括：（C，D），（C，E），（D，E）共3個．
故2名學生的語文英語閱讀能力均為良好的概率為

3

10

（Ⅱ）（ⅰ）數(shù)據(jù)的散點圖如右圖：

（ⅱ）設線性回歸方程為

y

=bx+a，則
方法一：b=

n i=1 xiyi-n . x . y

n i=1 x 2 i -n . x 2

=

91-80

90-80

=1.1a=

.

y

-b

.

x

=4-1.1×4=-0.4
所以線性回歸方程為y=1.1x-0.4
方法二：f（a，b）=（2b+a-1.5）²+（3b+a-3）²+（4b+a-3.5）²+（5b+a-5）²+（6b+a-6）²=5a²+40a（b-1）+（2b-1.5）²+（3b-3）²+（4a-3.5）²+（5b-5）²+（6b-6）²
∴a=-

40(b-1)

10

=4(1-b)時，f（a，b）取得最小值10b²-22b+12.5
即b=1.1，a=-0.4時f（a，b）取得最小值；
所以線性回歸方程為y=1.1x-0.4．

點評：本題考查了概率與統(tǒng)計的知識，綜合考察了識圖能力，古典概型的概率計算方法，用樣本研究變量間的不確定關系的方法運用