Question

設(shè)函數(shù),已知和為的極值點.
(Ⅰ)求和的值;
(Ⅱ)討論函數(shù)的單調(diào)性;
(Ⅲ)設(shè),比較與的大小.

Answer 1

（1）,.
（2）在和上是單調(diào)遞增的;在和上是單調(diào)遞減的.
（3）(1)且時
(2) 或時,

(Ⅰ)因為,
又和為的極值點,所以,
因此解該方程組得,.
（Ⅱ）因為,,所以,
令,解得,,．
因為當時,;
當時,．
所以在和上是單調(diào)遞增的;在和上是單調(diào)遞減的.
（Ⅲ）由（Ⅰ）可知,
故,令，則.
令,得,因為時,,
所以在上單調(diào)遞減.故時，;
因為時,,所以在上單調(diào)遞增.
故時,.
所以對任意,恒有,又時,,
因此且時,
或時,
所以,   (1)且時
(2) 或時,
【注:】按以下做法不扣分(以下是高考命題人給的原解)這種解法不太嚴謹,但也被大部分人所接受
（Ⅲ）由（Ⅰ）可知,
故,令,則.
令,得,因為時,,
所以在上單調(diào)遞減.故時,;
因為時,,所以在上單調(diào)遞增.
故時,.
所以對任意,恒有,又,因此,
故對任意,恒有