Question

【題目】已知f（x）=x|x﹣a|+2x﹣3，其中a∈R
（1）當a=4，2≤x≤5時，求函數(shù)f（x）的最大值和最小值，并寫出相應的x的值．
（2）若f（x）在R上恒為增函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解:∵f（x）=x|x﹣a|+2x﹣3，

∴當a=4時， ；

作圖如下：

由圖知，當x=5時，f（x）max=f（5）=52﹣2×5﹣3=12；

當x=2或4時，f（x）min=f（2）=f（4）=﹣22+6×2﹣3=5，

（2）解: ，

∵f（x）在R上恒為增函數(shù)，

∴ ，解得﹣2≤a≤2．

∴實數(shù)a的取值范圍是[﹣2，2]．

【解析】（1）化為分段函數(shù)，利用函數(shù)的增減性求得最值；（2）通過討論a的取值，化為分段函數(shù)后由函數(shù)的單調性列出不等式求得．
【考點精析】認真審題，首先需要了解函數(shù)單調性的性質(函數(shù)的單調區(qū)間只能是其定義域的子區(qū)間 ,不能把單調性相同的區(qū)間和在一起寫成其并集)．