Question

【題目】正方形的邊長(zhǎng)為2，，分別為，的中點(diǎn)，以為折痕把折起，使點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)的位置，平面平面.

（1）證明：平面；

（2）求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）

【解析】

（1）利用正方形的性質(zhì)可得垂直于面，得到又，所以再由已知條件即可證明．

（2）作，垂足為，由（1）得，平面，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)?/span>軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法求出二面角的余弦值.

解：（1）由已知可得，平面平面，平面，，

平面平面，所以平面，

，又，所以，又，

且，所以平面.

（2）作，垂足為，由（1）得，平面.

以為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)?/span>軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.

由（1）可得，.又，，所以.故.

可得，.

則，，，，，，，

由（1）知：為平面的法向量，.

設(shè)平面的法向量為，則：，即，

所以，令，則，.

則.

所以二面角的余弦值為.