Question

已知點(diǎn),的坐標(biāo)分別是，.直線(xiàn),相交于點(diǎn)，且它們的斜率之積為.
（1）求點(diǎn)的軌跡的方程；
（2）若過(guò)點(diǎn)的兩直線(xiàn)和與軌跡都只有一個(gè)交點(diǎn)，且,求的值;
(3)在軸上是否存在兩個(gè)定點(diǎn),,使得點(diǎn)到點(diǎn)的距離與到點(diǎn)的距離的比恒為,若存在，求出定點(diǎn),；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

（1）軌跡的方程為 
（2）
（3）存在定點(diǎn)，或，

試題分析：解： （1）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為
由題可知,即，
化簡(jiǎn)得 ，
所以點(diǎn)的軌跡的方程為                                 4分
（2）分四種情況討論
情況一：當(dāng)直線(xiàn)和都與相切時(shí)，直線(xiàn)和與軌跡都只有一個(gè)交點(diǎn)。
設(shè)直線(xiàn)的方程為，即
由可知直線(xiàn)的方程為，即
因?yàn)橹本�(xiàn)和都與相切，所以 解得。             6分
情況二：當(dāng)直線(xiàn)過(guò)點(diǎn),直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)時(shí)，直線(xiàn)和與軌跡都只有一個(gè)交點(diǎn)。
此時(shí)直線(xiàn)的斜率，直線(xiàn)的斜率
由知，解得。                                       7分
情況三：當(dāng)直線(xiàn)過(guò)點(diǎn),直線(xiàn)與相切時(shí)，直線(xiàn)和與軌跡都只有一個(gè)交點(diǎn)。
直線(xiàn)的斜率，由知直線(xiàn)的斜率
故直線(xiàn)的方程為，即
因?yàn)橹本�(xiàn)與相切，所以 解得。
情況四：當(dāng)直線(xiàn)過(guò)點(diǎn),直線(xiàn)與相切時(shí)，直線(xiàn)和與軌跡都只有一個(gè)交點(diǎn)。
直線(xiàn)的斜率，由知直線(xiàn)的斜率
故直線(xiàn)的方程為，即
因?yàn)橹本�(xiàn)與相切，所以 解得。               10分
綜上所述：的值為，1，。
（3）假設(shè)存在定點(diǎn),,設(shè)，，
則化簡(jiǎn)整理得（*）         11分
由于滿(mǎn)足，故（*）式可化為        12分
故解得或                                
故存在定點(diǎn)，或，，使得點(diǎn)到點(diǎn)的距離與到點(diǎn)的距離的比為。                                                              14分
點(diǎn)評(píng)：主要是考查了直線(xiàn)與原點(diǎn)位置關(guān)系的運(yùn)用，以及軌跡方程的求解，屬于中檔題。