Question

【題目】已知函數(shù).

（1）當(dāng)時(shí)，證明：；

（2）是否存在不相等的正實(shí)數(shù)m，n滿足，且？若存在，求a的取值范圍；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）存在，

【解析】

（1）題目等價(jià)，設(shè)，求導(dǎo)得到單調(diào)性，計(jì)算最值得到答案.

（2）問題轉(zhuǎn)化為方程有不等于1的正實(shí)根，，討論和，令，求導(dǎo)得到函數(shù)單調(diào)區(qū)間，得到在上存在零點(diǎn)，得到答案.

（1）當(dāng)時(shí)，，即，也即.

令，則.

由得，或（舍去）.

當(dāng)時(shí)，，是減函數(shù)；

當(dāng)時(shí)，，是增函數(shù).

所以，所以原不等式成立.

（2）由及得，即.

由于m，n為不相等的正實(shí)數(shù).

所以問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于x的方程有不等于1的正實(shí)根.

令，

當(dāng)時(shí)，若，則，

若，則，

所以當(dāng)時(shí)，方程沒有不等于1的正實(shí)根；

當(dāng)時(shí)，令，得，

當(dāng)時(shí)，，是減函數(shù)；當(dāng)時(shí)，，是增函數(shù)，所以的最小值為，又.

當(dāng)，即時(shí)，是函數(shù)唯一的零點(diǎn)，不符合；

當(dāng)，即時(shí)，，.

令，則，

所以當(dāng)時(shí)，，是減函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，是增函數(shù)，由此，顯然.

所以在上存在零點(diǎn).

當(dāng)，即時(shí)，，

類似地，，，所以在上存在零點(diǎn).

綜上所述，的取值范圍是.