Question

【題目】如圖所示，是邊長，的矩形硬紙片，在硬紙片的四角切去邊長相等的小正方形后，再沿虛線折起，做成一個(gè)無蓋的長方體盒子，、是上被切去的小正方形的兩個(gè)頂點(diǎn)，設(shè).

（1）將長方體盒子體積表示成的函數(shù)關(guān)系式，并求其定義域；

（2）當(dāng)為何值時(shí)，此長方體盒子體積最大？并求出最大體積.

Answer 1

【答案】（1），；（2）當(dāng)時(shí)長方體盒子體積最大，此時(shí)最大體積為.

【解析】

（1）分別由題意用x表示長方體的長寬高，代入長方體的體積公式即可表示該函數(shù)關(guān)系，再由實(shí)際長方體的長寬高都應(yīng)大于零構(gòu)建不等式組，即可求得定義域.

（2）利用導(dǎo)數(shù)分析體積在定義域范圍內(nèi)的單調(diào)性，進(jìn)而求函數(shù)的最大值.

長方體盒子長，寬，高.

（1）長方體盒子體積，

由得，故定義域?yàn)?/span>.

（2）由（1）可知長方體盒子體積

則，在內(nèi)令，解得，故體積V在該區(qū)間單調(diào)遞增；

令，解得，故體積V在該區(qū)間單調(diào)遞減；

∴在取得極大值也是最大值.此時(shí).

故當(dāng)時(shí)長方體盒子體積最大，此時(shí)最大體積為.