Question

如圖，在三棱錐P-ABC中，D，E，F(xiàn)分別為棱PC，AC，AB的中點(diǎn)，已知PA⊥AC，PA=6，BC=8，DF=5．求證：
（1）直線PA∥平面DEF；
（2）平面BDE⊥平面ABC．

Answer 1

考點(diǎn)：平面與平面垂直的判定,直線與平面垂直的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角,立體幾何

分析：（1）由D、E為PC、AC的中點(diǎn)，得出DE∥PA，從而得出PA∥平面DEF；
（2）要證平面BDE⊥平面ABC，只需證DE⊥平面ABC，即證DE⊥EF，且DE⊥AC即可．

解答： 證明：（1）∵D、E為PC、AC的中點(diǎn)，∴DE∥PA，
又∵PA?平面DEF，DE?平面DEF，
∴PA∥平面DEF；
（2）∵D、E為PC、AC的中點(diǎn)，∴DE=

1

2

PA=3；
又∵E、F為AC、AB的中點(diǎn)，∴EF=

1

2

BC=4；
∴DE²+EF²=DF²，
∴∠DEF=90°，
∴DE⊥EF；
∵DE∥PA，PA⊥AC，∴DE⊥AC；
∵AC∩EF=E，∴DE⊥平面ABC；
∵DE?平面BDE，∴平面BDE⊥平面ABC．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了空間中的平行與垂直問題，解題時(shí)應(yīng)明確空間中的線線、線面、面面之間的垂直與平行的互相轉(zhuǎn)化關(guān)系，是基礎(chǔ)題目．