Question

【題目】設(shè)是正項數(shù)列的前項和，且.

（Ⅰ）求數(shù)列通項公式；

（Ⅱ）是否存在等比數(shù)列，使對一切正整數(shù)都成立？并證明你的結(jié)論.

（Ⅲ）設(shè)（），且數(shù)列的前項和為，試比較與的大小.

Answer 1

【答案】（1）（2）見解析（3）見解析

【解析】試題分析：由的表達(dá)式求通項公式，利用時， ，轉(zhuǎn)化為關(guān)于的關(guān)系式，把一般數(shù)列轉(zhuǎn)化為特殊數(shù)列，求出通項公式；對于同樣的辦法求出，借助求出，并證明.求出，利用錯位相加法求出前項和并比較大小.

試題解析：（Ⅰ）由

得，

相減并整理得

又由于，

則，故是等差數(shù)列．

因為 ，

所以

故．

（Ⅱ）當(dāng)，2時， ， ，

可解得， ，

猜想 使 成立．

證明： 恒成立．

令 ……①

……②

②﹣①得：

，

故存在等比數(shù)列符合題意．

（Ⅲ）

則

故．