Question

已知函數(shù)f(x)＝2sinxcosx＋cos2x(x∈R).
(1)求f(x)的最小正周期和最大值；
(2)若θ為銳角，且f(θ＋)＝，求tan2θ的值.

Answer 1

(1) f(x)的最小正周期為＝π，最大值為.(2) tan2θ＝＝2.

解析試題分析：利用二倍角公式以及兩角和的正弦函數(shù)化簡(jiǎn)函數(shù)為一個(gè)角的一個(gè)三角函數(shù)的形式，
（Ⅰ）直接利用周期公式求出函數(shù)f （x）的最小正周期,最大值易求.
（Ⅱ）由f(θ＋)＝可得sin(2θ＋)＝,從而可得cos2θ＝，再注意研究0＜2θ＜π,進(jìn)而可利用求出sin2θ,進(jìn)而可求出tan2θ＝.
(1)f(x)＝2sinxcosx＋cos2x
＝sin2x＋cos2x
＝(sin2x＋cos2x)
＝sin(2x＋).
∴f(x)的最小正周期為＝π，最大值為.…………（6分）
(2)∵f(θ＋)＝，  ∴sin(2θ＋)＝.  ∴cos2θ＝.
∵θ為銳角，即0＜θ＜，∴0＜2θ＜π.
∴sin2θ＝.
∴tan2θ＝＝2.…………（13分）.
考點(diǎn)：倍角公式及兩角和的正弦公式，正切公式，函數(shù)的性質(zhì),同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式.
點(diǎn)評(píng)：本題主要是利用三角函數(shù)的二倍角公式，兩角和的正弦公式，求解函數(shù)的最小正周期和最值，還考查了利用同角三角函數(shù)式求出其余名函數(shù)值，進(jìn)而得到tan2θ的值.