Question

【題目】已知函數(shù)（，是自然對數(shù)的底數(shù)），是函數(shù)的一個極值點．

（1）求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；

（2）設(shè)，若，不等式恒成立，求的最大值．

Answer 1

【答案】(1) 和．(2)

【解析】

（1）先對函數(shù)求導(dǎo)，得到，根據(jù)，得到，推出，解不等式，即可得出結(jié)果；

（2）先由不等式恒成立，得到恒成立，記，分別討論和兩種情況，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的方法研究函數(shù)最值，得到，再令，根據(jù)導(dǎo)數(shù)方法求其最值即可.

（1）因為，所以，

∵是函數(shù)的一個極值點，∴，解得

則．

令，解得或，

故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為和．

（2）不等式，可化為，

記，，

當(dāng)時，恒成立，則在上遞增，沒有最小值，故不成立；

當(dāng)時，令，解得，當(dāng)時，；

當(dāng)時，，

當(dāng)時，函數(shù)取得最小值，

即，則

令，，令，

則，當(dāng)時，；當(dāng)時，，

故當(dāng)時，取得最大值，

所以，即的最大值為．