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        1. 【題目】己知橢圓上動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)為原點(diǎn).

          1)若,求證:為定值;

          2)點(diǎn),若,求證:直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn);

          3)若,求證:直線(xiàn)為定圓的切線(xiàn).

          【答案】1;(2)證明見(jiàn)解析;(3)證明見(jiàn)解析

          【解析】

          1)設(shè),可求得,進(jìn)而由在橢圓上,代入橢圓方程并整理可得,進(jìn)而由,整理可得為定值;

          2)易知,直線(xiàn)的斜率存在,設(shè)其方程為,與橢圓方程聯(lián)立并消去,得到關(guān)于的一元二次方程,由,且直線(xiàn)的斜率均存在,可得到,將其展開(kāi)并結(jié)合韋達(dá)定理,可用表示,進(jìn)而可知直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn);

          3)當(dāng)斜率都存在時(shí),設(shè)出兩直線(xiàn)的方程,分別與橢圓方程聯(lián)立,可得到、的表達(dá)式,進(jìn)而可設(shè)到直線(xiàn)的距離為,則,整理可得,即到直線(xiàn)的距離為定值;當(dāng)的斜率有一個(gè)不存在時(shí),可求得直線(xiàn)的方程,進(jìn)而可求出圓心到直線(xiàn)的距離也為相同定值.

          證明:(1)由題意,設(shè),

          在橢圓上,則

          代入得,,

          整理得,,

          因?yàn)?/span>,所以

          ,

          為定值;

          2)易知,直線(xiàn)的斜率存在,設(shè)其方程為,,

          聯(lián)立,消去得,,

          ,

          ,且直線(xiàn)的斜率均存在,

          ,整理得,

          因?yàn)?/span>,,

          所以,,

          整理得,,

          所以

          整理得,,

          ,所以,或

          因?yàn)?/span>,所以,所以直線(xiàn)恒過(guò)定點(diǎn);

          3)當(dāng)斜率都存在時(shí),

          設(shè)方程為,

          方程為,

          聯(lián)立,可得,

          所以,

          同理可得

          設(shè)到直線(xiàn)的距離為,即為斜邊上的高,

          ,

          故當(dāng)斜率都存在時(shí),到直線(xiàn)的距離為定值.

          當(dāng)的斜率有一個(gè)不存在時(shí),此時(shí)直線(xiàn)為連接長(zhǎng)軸和短軸端點(diǎn)的一條直線(xiàn),方程為,

          點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為.

          綜上,原點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為定值,即直線(xiàn)為定圓的切線(xiàn).

          練習(xí)冊(cè)系列答案
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          青年組

          中老年組

          (1)利用直方圖估計(jì)青年組的中位數(shù)和老年組的平均數(shù);

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