【題目】己知橢圓上動點
,點
為原點.
(1)若,求證:
為定值;
(2)點,若
,求證:直線
過定點;
(3)若,求證:直線
為定圓的切線.
【答案】(1);(2)證明見解析;(3)證明見解析
【解析】
(1)設(shè),可求得
,進而由
在橢圓上,代入橢圓方程并整理可得
,進而由
,整理可得
為定值;
(2)易知,直線的斜率存在,設(shè)其方程為
,與橢圓方程聯(lián)立并消去
,得到關(guān)于
的一元二次方程,由
,且直線
的斜率均存在,可得到
,將其展開并結(jié)合韋達定理,可用
表示
,進而可知直線
過定點;
(3)當(dāng)斜率都存在時,設(shè)出兩直線的方程,分別與橢圓方程聯(lián)立,可得到
、
的表達式,進而可設(shè)
到直線
的距離為
,則
,整理可得
,即
到直線
的距離為定值;當(dāng)
的斜率有一個不存在時,可求得直線
的方程,進而可求出圓心
到直線
的距離也為相同定值.
證明:(1)由題意,設(shè),
則,
由在橢圓上,則
,
代入得,,
整理得,,
因為,所以
,
則,
∴為定值
;
(2)易知,直線的斜率存在,設(shè)其方程為
,
,
聯(lián)立,消去
得,
,
則,
,
由,且直線
的斜率均存在,
,整理得
,
因為,
,
所以,
,
整理得,,
所以,
整理得,,
即,所以
,或
,
因為,所以
,所以直線
恒過定點
;
(3)當(dāng)斜率都存在時,
設(shè)方程為
,
,
則方程為
,
聯(lián)立,可得
,
所以,
同理可得,
設(shè)到直線
的距離為
,即為
斜邊上的高,
則,
故當(dāng)斜率都存在時,
到直線
的距離為定值.
當(dāng)的斜率有一個不存在時,此時直線
為連接長軸和短軸端點的一條直線,方程為
或
,
點到直線
的距離為
.
綜上,原點到直線
的距離為定值
,即直線
為定圓
的切線.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)曲線y=xn+1(n∈N*)在點(1,1)處的切線與x軸的交點的橫坐標(biāo)為xn,令an=lgxn,則a1+a2+…+a99的值為( )
A. 1 B. 2 C. -2 D. -1
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】以下莖葉圖記錄了甲、乙兩組各四名同學(xué)的植樹棵數(shù)。乙組記錄中有一個數(shù)據(jù)模糊,無法確認,在圖中經(jīng)X表示。
(1)如果X=8,求乙組同學(xué)植樹棵數(shù)的平均數(shù)和方差
(2)如果X=9,分別從甲、乙兩組中隨機選取一名同學(xué),求這兩名同學(xué)的植樹總棵數(shù)為19的概率
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為了紀(jì)念“一帶一路”倡議提出五周年,某城市舉辦了一場知識競賽,為了了解市民對“一帶一路”知識的掌握情況,從回收的有效答卷中按青年組和老年組各隨機抽取了40份答卷,發(fā)現(xiàn)成績都在內(nèi),現(xiàn)將成績按區(qū)間
,
,
,
,
進行分組,繪制成如下的頻率分布直方圖.
青年組
中老年組
(1)利用直方圖估計青年組的中位數(shù)和老年組的平均數(shù);
(2)從青年組,
的分?jǐn)?shù)段中,按分層抽樣的方法隨機抽取5份答卷,再從中選出3份答卷對應(yīng)的市民參加政府組織的座談會,求選出的3位市民中有2位來自
分?jǐn)?shù)段的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)圖象相鄰兩條對稱軸的距離為
,將函數(shù)
的圖象向左平移
個單位后,得到的圖象關(guān)于y軸對稱則函數(shù)
的圖象( )
A. 關(guān)于直線對稱 B. 關(guān)于直線
對稱
C. 關(guān)于點對稱 D. 關(guān)于點
對稱
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】下列命題正確的是( )
A. 命題“若,則
”的逆否命題為真命題;
B. 命題“”為假命題,則命題
與命題
都是假命題;
C. “”是“
”成立的必要不充分條件;
D. 命題“存在,使得
”的否定是:“對任意
,均有
”.
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