Question

（2011•崇明縣二模）已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，滿足2+2S_n=3a_n（n∈N^*）．?dāng)?shù)列bn=

1               n=1 an-1 n         n≥2

．
（1）求證：數(shù)列{a_n}為等比數(shù)列；
（2）若對(duì)于任意n∈N^*，不等式b_n≥（n+1）λ恒成立，求實(shí)數(shù)λ的最大值；
（3）對(duì)于數(shù)列{b_n}中值為整數(shù)的項(xiàng)，按照原數(shù)列中前后順序排列得到新的數(shù)列{c_n}，記T_n=c₁×c₃×…×c_2n-1，M_n=c₂×c₄×…×c_2n，求

Tn

Mn

的表達(dá)式．

Answer 1

分析：（1）由已知中2+2S_n=3a_n，n∈N^*，我們可以得到

an+1

an

=3，根據(jù)等比數(shù)列的定義，即可得到數(shù)列{a_n}為等比數(shù)列；
（2）由（1）中結(jié)論，我們易求出數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式，下面分類討論：①當(dāng)n=1時(shí)，b₁≥2λ，②n≥2時(shí)，令f（n）=

2×3 n-2

n(n+1)

，利用f（n）=

2×3 n-2

n(n+1)

（n≥2）為遞增數(shù)列．f（n） _min=

1

3

，從而λ的最大值．
（3）根據(jù)當(dāng)n=2k-1（k≥2）時(shí)，及當(dāng)n=2k（k≥1）時(shí)，求出c_n的解析式，從而得出Tn和Mn，我們通過(guò)化簡(jiǎn)即可求

Tn

Mn

的表達(dá)式．

解答：解：（1）a₁=2，2+2S_n=3a_n，2+2S _n+1=3a _n+1，
所以2a _n+1=3a _n+1-3a_n，
即：

an+1

an

=3恒成立．
所以，{a_n}為以2為首項(xiàng)，公比為3的等比數(shù)列．
（2）b_n=

1               n=1 2×3 n-2 n        n≥2

．

①n=1時(shí)，b₁≥2λ，λ≤

1

2

②n≥2時(shí)，

2×3 n-2

n

≥（1+n）λ，λ≤

2×3 n-2

n(n+1)

令f（n）=

2×3 n-2

n(n+1)

，f（n+1）-f（n）=

4×3 n-2(n-1)

n(n+1)(n+2)

≥0（n≥2）
所以，f（n）=

2×3 n-2

n(n+1)

，（n≥2）為遞增數(shù)列．f（n） _min=

1

3

，
從而λ≤

1

3

由①，②知λ≤

1

3

，所以λ的最大值等于

1

3

．
（3）c₁=1
當(dāng)n=2k-1（k≥2）時(shí)，c_n=2×33 k-1-k-1 
當(dāng)n=2k（k≥1）時(shí)，c_n=32×3 k-1-k-1
所以Tn=1×2×33 2-1-2-1×…×2×33 n-1-n-1

Mn=1×32×3 2-1-2-1×…×2××32×3 n-1-n-1

所以

Tn

Mn

=

1，n=1 1×2×32×3 2-1-2-1×…×33 n-1-n-1 1××32×3 2-1-2-1×…×32×3 n-1-n-1

，n≥2
所以

Tn

Mn

=

1，n=1 2 n-1 3   3 n-3 2

，n≥2

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是等比關(guān)系的確定，數(shù)列的函數(shù)特征，數(shù)列遞推式，數(shù)列與不等式的綜合．其中（1）的關(guān)鍵是根據(jù)等比數(shù)列的定義，證得

an+1

an

為定值，但要注意由限制首項(xiàng)不為0．