Question

【題目】若存在常數(shù)，使得無(wú)窮數(shù)列滿足，則稱數(shù)列為“Γ數(shù)列．已知數(shù)列為“Γ數(shù)列”．

（1）若數(shù)列中，，試求的值；

（2）若數(shù)列中，，記數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若不等式對(duì)恒成立，求實(shí)數(shù)λ的取值范圍；

（3）若為等比數(shù)列，且首項(xiàng)為b，試寫(xiě)出所有滿足條件的，并說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）滿足條件數(shù)列的通項(xiàng)公式為：或，詳見(jiàn)解析

【解析】

（1）直接利用信息求出數(shù)列的項(xiàng)．

（2）利用恒成立問(wèn)題和函數(shù)的單調(diào)性，求出λ的取值范圍．

（3）直接利用分類討論思想求出數(shù)列的通項(xiàng)公式．

（1）數(shù)列為“Γ數(shù)列”中，，

所以：當(dāng)時(shí)，時(shí)，，

又，即：，

，．

（2）因?yàn)閿?shù)列是“Γ數(shù)列”，且，所以：，

則：數(shù)列前4n項(xiàng)中的項(xiàng)b4n-3是以2為首項(xiàng)，6為公差的等差數(shù)列．

易知{b4n}的項(xiàng)后按原來(lái)的順序構(gòu)成一個(gè)首項(xiàng)為4，公差為2的等差數(shù)列．

所以：

，

．

由于不等式對(duì)恒成立，

所以：，

設(shè)，

則：，

所以：

當(dāng)時(shí)，，

當(dāng)時(shí)，，

所以：

所以的最大值為．

即．

（3）為等比數(shù)列，設(shè)數(shù)列的公比，

由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式：，

當(dāng)時(shí)，，

即：，

①，則，故：．

②當(dāng)時(shí)，則：，

所以為常數(shù)，則，k為偶數(shù)時(shí)，

經(jīng)檢驗(yàn)，滿足條件數(shù)列的通項(xiàng)公式為：或．