Question

（本小題滿分12分）
已知函數(shù)定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823235945767326.png" style="vertical-align:middle;" />，若對(duì)于任意的，都有，且時(shí)，有.
（1）求證: 為奇函數(shù);
（2）求證: 在上為單調(diào)遞增函數(shù);
（3）設(shè),若<,對(duì)所有恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

（1）見(jiàn)解析（2）見(jiàn)解析（3）

試題分析：（1）因?yàn)橛?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823235945814774.png" style="vertical-align:middle;" />，
令，得，所以，                      ……1分
令可得：
所以，所以為奇函數(shù).                                ……4分
（2）是定義在上的奇函數(shù),由題意
則，

是在上為單調(diào)遞增函數(shù);                                     ……8分
（3）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823235945736447.png" style="vertical-align:middle;" />在上為單調(diào)遞增函數(shù)，
所以在上的最大值為，                               ……9分
所以要使<,對(duì)所有恒成立，
只要>1,即>0，                                   ……10分
令

.                                             ……12分
點(diǎn)評(píng)：解決抽象函數(shù)問(wèn)題常用的方法是“賦值法”，而要考查抽象函數(shù)的性質(zhì)，還要借助圖象,數(shù)形結(jié)合來(lái)解決.對(duì)于恒成立問(wèn)題，要轉(zhuǎn)為為求最值來(lái)解決，而（３）中將函數(shù)轉(zhuǎn)化為關(guān)于的函數(shù)，是這道題解題的亮點(diǎn)所在．