Question

設(shè)動點(diǎn)P到兩定點(diǎn)F₁(－l，0)和F₂(1，0)的距離分別為d₁和d₂，∠F₁PF₂＝2θ，且存在常數(shù)λ(0＜λ＜1)，使得d₁d₂ sin²θ＝λ．

（1）證明：動點(diǎn)P的軌跡C為雙曲線，并求出C的方程；

（2）如圖，過點(diǎn)F₂的直線與雙曲線C的右支交于A、B兩點(diǎn)．問：是否存在λ，使△F₁AB是以點(diǎn)B為直角定點(diǎn)的等腰直角三角形？若存在，求出λ的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

解：（1）在中，

（小于的常數(shù)）

故動點(diǎn)的軌跡是以，為焦點(diǎn)，實(shí)軸長的雙曲線．

方程為．

（2）方法一：在中，設(shè)，，，．

假設(shè)為等腰直角三角形，則

由②與③得，

則

由⑤得，

，

故存在滿足題設(shè)條件．

方法二：（1）設(shè)為等腰直角三角形，依題設(shè)可得

所以，

則．①

由，可設(shè)，

則，．

則．②

由①②得．③

根據(jù)雙曲線定義可得，．

平方得：．④

由③④消去可解得，

故存在滿足題設(shè)條件．