Question

給出以下5個(gè)命題：
①曲線(xiàn)x²-（y-1）²=1按

a

=(1，-2)平移可得曲線(xiàn)（x+1）²-（y-3）²=1；
②設(shè)A、B為兩個(gè)定點(diǎn)，n為常數(shù)，|

PA

|-|

PB

|=n，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為雙曲線(xiàn)；
③若橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為F₁、F₂，P是該橢圓上的任意一點(diǎn)，延長(zhǎng)F₁P到點(diǎn)M，使|F₂P|=|PM|，則點(diǎn)M的軌跡是圓；
④A、B是平面內(nèi)兩定點(diǎn)，平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)P滿(mǎn)足向量

AB

與

AP

夾角為銳角θ，且滿(mǎn)足 |

PB

| |

AB

| +

PA

•

AB

=0，則點(diǎn)P的軌跡是圓（除去與直線(xiàn)AB的交點(diǎn)）；
⑤已知正四面體A-BCD，動(dòng)點(diǎn)P在△ABC內(nèi)，且點(diǎn)P到平面BCD的距離與點(diǎn)P到點(diǎn)A的距離相等，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為橢圓的一部分．
其中所有真命題的序號(hào)為

 

．

Answer 1

分析：①原曲線(xiàn)即為線(xiàn)x²-（y-1）²=1，按向量平移即是把函數(shù)向右平移1個(gè)單位，向下平移2個(gè)單位后得到曲線(xiàn)．
②不正確．若動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為雙曲線(xiàn)，則|k|要小于A、B為兩個(gè)定點(diǎn)間的距離；
③充分利用平面幾何圖形的條件特點(diǎn)，結(jié)合橢圓的定義，得到|F₁Q|為定長(zhǎng)，從而確定動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡是個(gè)什么圖形．
④以AB所在直線(xiàn)為x軸，AB的垂直平分線(xiàn)為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，先設(shè)P（x，y），欲動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程，即尋找x，y之間的關(guān)系，結(jié)合向量的坐標(biāo)運(yùn)算即可得到．
⑤由題設(shè)條件將點(diǎn)P到平面ABC距離與到點(diǎn)V的距離相等轉(zhuǎn)化成在面VBC中點(diǎn)P到V的距離與到定直線(xiàn)BC的距離比是一個(gè)常數(shù)，依據(jù)圓錐曲線(xiàn)的第二定義判斷出其軌跡的形狀．

解答：解：①原曲線(xiàn)即為x²-（y-1）²=1，則平移后的曲線(xiàn)C為（x-1）²-（y+1）²=1；①不正確．
②若動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為雙曲線(xiàn)，則|k|要小于A、B為兩個(gè)定點(diǎn)間的距離．當(dāng)|k|大于A、B為兩個(gè)定點(diǎn)間的距離時(shí)動(dòng)點(diǎn)P的軌跡不是雙曲線(xiàn)．錯(cuò)；
③∵|PF₁|+|PF₂|=2a，|PQ|=|PF₂|，
∴|PF₁|+|PF₂|=|PF₁|+|PQ|=2a，
即|F₁Q|=2a，
∴動(dòng)點(diǎn)Q到定點(diǎn)F₁的距離等于定長(zhǎng)2a，故動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡是圓．故答案：圓．正確；
④以AB所在直線(xiàn)為x軸，AB的垂直平分線(xiàn)為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，
設(shè)A（-a，0），B（a，0），P（x，y），
則

AB

=（2a，0），

AP

=（x+a，y），

PB

=（a-x，-y），代入
|

PB

||

AB

|+

PA

•

AB

=0得 2a

(a-x)2+y2

-2a(x+a)=0；
整理得y²=4ax，
故點(diǎn)P的軌跡是拋物線(xiàn)（除去與直線(xiàn)AB的交點(diǎn)），
故錯(cuò)．
⑤正四面體V-ABC∴面VBC不垂直面ABC，過(guò)P作PD⊥面ABC于D，過(guò)D作DH⊥BC于H，連接PH，
可得BC⊥面DPH，所以BC⊥PH，故∠PHD為二面角V-BC-A的平面角令其為θ
則Rt△PGH中，|PD|：|PH|=sinθ（θ為S-BC-A的二面角）．
又點(diǎn)P到平面ABC距離與到點(diǎn)V的距離相等，即|PV|=|PD|
∴|PV|：|PH|=sinθ＜1，即在平面VBC中，點(diǎn)P到定點(diǎn)V的距離與定直線(xiàn)BC的距離之比是一個(gè)常數(shù)sinθ，
面VBC不垂直面ABC，所以θ是銳角，故常數(shù)sinθ＜1
故由橢圓定義知P點(diǎn)軌跡為橢圓在面SBC內(nèi)的一部分．故正確．
故答案為：③⑤

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了曲線(xiàn)的平移，向量共線(xiàn)的坐標(biāo)表示，直線(xiàn)與橢圓的相交關(guān)系的綜合應(yīng)用，試題的思路比較清晰，但需要考生具備一定的運(yùn)算能力及邏輯推理能力．本題中求軌跡方程的方法及定義法．定義法：若動(dòng)點(diǎn)軌跡的條件符合某一基本軌跡的定義（如橢圓、雙曲線(xiàn)、拋物線(xiàn)、圓等），可用定義直接探求．